stuck poleplacement
a2nr
parent
5697dc24e6
commit
1759a5d535
152
BAB4/bab4.tex
152
BAB4/bab4.tex
|
|
@ -20,9 +20,9 @@ teria yang diinginkan.
|
|||
\subsubsection{State Feedback}
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\input{BAB4/img/statefeedback.tex}
|
||||
\caption{State-feedback Sistem}
|
||||
\label{fig:state-feedback}
|
||||
\input{BAB4/img/statefeedback.tex}
|
||||
\caption{State-feedback Sistem}
|
||||
\label{fig:state-feedback}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\todo{ Ganti notasi K untuk friction ke $k$}
|
||||
Pada persamaan~\eqref{eq:ss1} diketahui bahwa state memiliki dimensi $6 \times 1$. Dimensi
|
||||
|
|
@ -60,15 +60,11 @@ untuk menguji apakah sistem bersifat controlable atau tidak (Dorf, dkk (2010)).
|
|||
|
||||
\begin{align*} P_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\end{align*}
|
||||
\begin{align} rank[P_c] = n \end{align}
|
||||
|
||||
Apabila hasil dari $rank(P_c ) \neq n$ maka sistem tidak \textit{fully controlable}. Sedangkan untuk
|
||||
menguji observabilitas dapat menggunakan rumus berikut.
|
||||
|
||||
\begin{align*} P_o = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\end{align*}
|
||||
\begin{align} rank[P_o] = n \end{align}
|
||||
|
||||
Apabila sistem observable, rank dari matriks Observablity $P_o$ sama dengan besar orde sistem.
|
||||
|
||||
Menggunakan parameter robot oleh~\kutip{CORREIA20127} yang diterapkan pada per-
|
||||
samaan~\eqref{eq:ss1}-\eqref{eq:ss2}, hasil pengujian controlable $rank[P_c] = 6$, maka dapat disim-
|
||||
pulkan sistem robot controlable. Hasil pengujian observable $rank[P o] = 6$, maka
|
||||
|
|
@ -79,7 +75,7 @@ maka \textit{observer} tidak dibutuhkan dalam desain kendali robot.
|
|||
Kriteria didefinisi menggunakan analisis sistem orde dua pada domain waktu.
|
||||
Berikut adalah transfer fungsi tertutup dari sistem orde dua (\kutip{Richard2010}).
|
||||
\begin{align}
|
||||
Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2} R(s)
|
||||
Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} R(s)
|
||||
\label{eq:Gref}
|
||||
\end{align}
|
||||
Dengan input $R(s) = 1/s$ sebagai unit step, maka didapat persamaan keluaran sistem dalam domain waktu.
|
||||
|
|
@ -118,7 +114,7 @@ Apabila menggunakan $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$, akan diperoleh kriteria
|
|||
\begin{center}
|
||||
\begin{subfigure}[t]{.4\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
%%https://www.latex-tutorial.com/tutorials/pgfplots/
|
||||
%%https://www.latex-tutorial.com/tutorials/pgfplots/
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
width=\linewidth, % Scale the plot to \linewidth
|
||||
grid=major, % Display a grid
|
||||
|
|
@ -153,7 +149,7 @@ Apabila menggunakan $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$, akan diperoleh kriteria
|
|||
\label{fig:poleSystem}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\caption{(a) Step Respon dari persamaan~\eqref{eq:Gref} dengan parameter $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$ \\
|
||||
(b) Pole sistem adalah -8.19+3.96j dan -8.19+3.96j }
|
||||
(b) Pole sistem adalah -8.19+3.96j dan -8.19+3.96j }
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
|
@ -162,43 +158,83 @@ Untuk mendesain parameter K pada \textit{state feedback},
|
|||
diasumsikan bahwa \textit{state} pada sistem dapat diperoleh dari sensor, $x(t)$ untuk semua $t$.
|
||||
Persamaan rumus masukan ke sistem menjadi
|
||||
\begin{align}
|
||||
u(t) = -K_s x(t)
|
||||
u(t) = -K_s x(t)
|
||||
\end{align}
|
||||
sehingga persamaan \textit{state space} menjadi berikut.
|
||||
\begin{align}
|
||||
\dot{x}(t) = (A-BK_s)x(t)
|
||||
\dot{x}(t) = (A-BK_s)x(t)
|
||||
\end{align}
|
||||
Dapat diperhatikan bahwa $(A-BK_s)$ merupakan matriks karakteristik dari sistem.
|
||||
Sehingga dengan mengatur besaran $K_s$ dapat menjadikan sistem sesuai dengan kriterianya.
|
||||
\begin{align}
|
||||
\det[\lambda I-(A-BK_s)]=0
|
||||
\det[\lambda I-(A-BK_s)]=0
|
||||
\label{eq:eigen}
|
||||
\end{align}
|
||||
Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama
|
||||
$place()$.
|
||||
Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang diinginkan.
|
||||
\todo{
|
||||
jabarkan perhitungan tangan mengenai pole placement, satu saja cukup dari ketiga state
|
||||
}
|
||||
Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}.
|
||||
Perhatikan persamaan~\eqref{eq:ssx}, matriks pada persamaan tersebut akan diterapkan pada
|
||||
persamaan~\eqref{eq:eigen}.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
0 & =\det \Big[
|
||||
\begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
|
||||
\Big(
|
||||
\begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ 0 & A_{44} \end{bmatrix} -
|
||||
\begin{bmatrix}0 & 0& 0 \\ B_{11} & B_{12} & B_{13} \end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} & k_{22} \\ k_{31} & k_{32} \end{bmatrix}
|
||||
\Big)
|
||||
\Big] \\
|
||||
0 & = \det \Big[
|
||||
\begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
|
||||
\Big(
|
||||
\begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ -B_{11}k_{11}-B_{12}k_{21}-B_{13}k_{31} &
|
||||
A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32}\end{bmatrix}
|
||||
\Big)
|
||||
\Big] \\
|
||||
0 & = \det \Big[
|
||||
\begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
|
||||
\begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ Z_{21}& Z_{22}\end{bmatrix}
|
||||
\Big]
|
||||
= \det \Big[ \begin{bmatrix}\lambda & -A_{14}\\ -Z_{21} & \lambda-Z_{22} \end{bmatrix}\Big]
|
||||
\end{align*}
|
||||
Hasil dari diterminan sebagai berikut.
|
||||
\begin{align}
|
||||
K_s^{x} &=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-0.00000& -0.00000 \\
|
||||
71.71556& 8.38602 \\
|
||||
-71.71556& -8.38602
|
||||
\end{bmatrix};
|
||||
K_s^{y}=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-82.81000& -9.67000& \\
|
||||
41.40500& 4.83500& \\
|
||||
41.40500& 4.83500&
|
||||
\end{bmatrix}; \nonumber\\
|
||||
K_s^{\theta} &=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
6.90083& 1.02817\\
|
||||
6.90083& 1.02817\\
|
||||
6.90083& 1.02817
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
0 & = \lambda^2 -Z_{22} \lambda + Z_{21}A_{14}
|
||||
\end{align}
|
||||
Dimana
|
||||
\begin{align*}
|
||||
Z_{21} &= B_{11}k_{11} +B_{12}k_{21} +B_{13}k_{31} \\
|
||||
Z_{22} &= A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dengan asumsi persamaan orde dua mengunakan parameter $\zeta~=~0.9$ dan $\omega_n~=~9.1$
|
||||
(hasil analisa pada gambar~\ref{fig:stepResGref}) sebagai berikut.
|
||||
\begin{align}
|
||||
\triangle \lambda &= \lambda^2+2\zeta\omega_n \lambda +\omega_n^2 \\
|
||||
&= \lambda^2+16.38 \lambda + 82.81
|
||||
\end{align}
|
||||
Sehingga akan diperoleh besaran $Z_{21}$ dan $Z_{22}$
|
||||
|
||||
|
||||
% Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama
|
||||
% $place()$.
|
||||
% Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang diinginkan.
|
||||
% Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}.
|
||||
\begin{align}
|
||||
K_s^{x} & =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-0.00000 & -0.00000 \\
|
||||
71.71556 & 8.38602 \\
|
||||
-71.71556 & -8.38602
|
||||
\end{bmatrix};
|
||||
K_s^{y}=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-82.81000 & -9.67000 & \\
|
||||
41.40500 & 4.83500 & \\
|
||||
41.40500 & 4.83500 &
|
||||
\end{bmatrix}; \nonumber \\
|
||||
K_s^{\theta} & =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
6.90083 & 1.02817 \\
|
||||
6.90083 & 1.02817 \\
|
||||
6.90083 & 1.02817
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -208,40 +244,40 @@ Maka permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan \textit{input refrence}.
|
|||
Dimana refrence tersebut akan dikalikan dengan konstanta $N$.
|
||||
Berikut adalah persamaan \textit{input refrence} sebagai penambah dari \textit{state feedback}.
|
||||
\begin{align}
|
||||
u(t) = -Kx(t)+Nr
|
||||
u(t) = -Kx(t)+Nr
|
||||
\end{align}
|
||||
Sehingga persamaan \textit{state space} menjadi berikut.
|
||||
\begin{align}
|
||||
\dot{x} &= (A-BK_s)x + BNr\\
|
||||
y &= Cx
|
||||
\dot{x} & = (A-BK_s)x + BNr \\
|
||||
y & = Cx
|
||||
\end{align}
|
||||
Untuk mendapatkan nilai $N$ maka dapat diasumsikan bahwa sistem dalam keadaan \textit{steady state}, yaitu $\dot{x} = 0$, sehingga persamaan state space menjadi berikut.
|
||||
\begin{align}
|
||||
x &= -(A-BK_s)^{-1}BNr
|
||||
x & = -(A-BK_s)^{-1}BNr
|
||||
\end{align}
|
||||
Dalam keadaan \textit{steady state}, harapannya adalah nilai refrence sama dengan nilai keluaran, $y=r$.
|
||||
Sehingga dapat diperoleh persamaan $N$.
|
||||
\begin{align}
|
||||
N &= -[C(A-BK_s)^{-1}B]^{-1}
|
||||
N & = -[C(A-BK_s)^{-1}B]^{-1}
|
||||
\end{align}
|
||||
Berikut adalah hasil kalkulasi dari rumus $N$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}.
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
N^x &= \begin{bmatrix}
|
||||
-0.00000 & -0.00000 \\
|
||||
71.71556 & -0.00000 \\
|
||||
-71.71556 & -0.00000
|
||||
\end{bmatrix};
|
||||
N^y = \begin{bmatrix}
|
||||
-82.81000 & -0.00000 \\
|
||||
41.40500 & -0.00000 \\
|
||||
41.40500 & -0.00000
|
||||
\end{bmatrix} \nonumber \\
|
||||
N^\theta &= \begin{bmatrix}
|
||||
6.90083& -0.00000 \\
|
||||
6.90083& -0.00000 \\
|
||||
6.90083& -0.00000
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
N^x & = \begin{bmatrix}
|
||||
-0.00000 & -0.00000 \\
|
||||
71.71556 & -0.00000 \\
|
||||
-71.71556 & -0.00000
|
||||
\end{bmatrix};
|
||||
N^y = \begin{bmatrix}
|
||||
-82.81000 & -0.00000 \\
|
||||
41.40500 & -0.00000 \\
|
||||
41.40500 & -0.00000
|
||||
\end{bmatrix} \nonumber \\
|
||||
N^\theta & = \begin{bmatrix}
|
||||
6.90083 & -0.00000 \\
|
||||
6.90083 & -0.00000 \\
|
||||
6.90083 & -0.00000
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue