From 1759a5d535cbe736f75dd4aaa2b350398bc4c5d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: a2nr Date: Mon, 2 Dec 2019 11:46:35 +0700 Subject: [PATCH] stuck poleplacement --- BAB4/bab4.tex | 154 +++++++++++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 95 insertions(+), 59 deletions(-) diff --git a/BAB4/bab4.tex b/BAB4/bab4.tex index eaf7d39..3699784 100644 --- a/BAB4/bab4.tex +++ b/BAB4/bab4.tex @@ -20,9 +20,9 @@ teria yang diinginkan. \subsubsection{State Feedback} \begin{figure} \centering - \input{BAB4/img/statefeedback.tex} - \caption{State-feedback Sistem} - \label{fig:state-feedback} + \input{BAB4/img/statefeedback.tex} + \caption{State-feedback Sistem} + \label{fig:state-feedback} \end{figure} \todo{ Ganti notasi K untuk friction ke $k$} Pada persamaan~\eqref{eq:ss1} diketahui bahwa state memiliki dimensi $6 \times 1$. Dimensi @@ -60,15 +60,11 @@ untuk menguji apakah sistem bersifat controlable atau tidak (Dorf, dkk (2010)). \begin{align*} P_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\end{align*} \begin{align} rank[P_c] = n \end{align} - Apabila hasil dari $rank(P_c ) \neq n$ maka sistem tidak \textit{fully controlable}. Sedangkan untuk menguji observabilitas dapat menggunakan rumus berikut. - \begin{align*} P_o = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\end{align*} \begin{align} rank[P_o] = n \end{align} - Apabila sistem observable, rank dari matriks Observablity $P_o$ sama dengan besar orde sistem. - Menggunakan parameter robot oleh~\kutip{CORREIA20127} yang diterapkan pada per- samaan~\eqref{eq:ss1}-\eqref{eq:ss2}, hasil pengujian controlable $rank[P_c] = 6$, maka dapat disim- pulkan sistem robot controlable. Hasil pengujian observable $rank[P o] = 6$, maka @@ -79,7 +75,7 @@ maka \textit{observer} tidak dibutuhkan dalam desain kendali robot. Kriteria didefinisi menggunakan analisis sistem orde dua pada domain waktu. Berikut adalah transfer fungsi tertutup dari sistem orde dua (\kutip{Richard2010}). \begin{align} - Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2} R(s) + Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} R(s) \label{eq:Gref} \end{align} Dengan input $R(s) = 1/s$ sebagai unit step, maka didapat persamaan keluaran sistem dalam domain waktu. @@ -118,7 +114,7 @@ Apabila menggunakan $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$, akan diperoleh kriteria \begin{center} \begin{subfigure}[t]{.4\textwidth} \begin{tikzpicture} - %%https://www.latex-tutorial.com/tutorials/pgfplots/ + %%https://www.latex-tutorial.com/tutorials/pgfplots/ \begin{axis}[ width=\linewidth, % Scale the plot to \linewidth grid=major, % Display a grid @@ -153,7 +149,7 @@ Apabila menggunakan $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$, akan diperoleh kriteria \label{fig:poleSystem} \end{subfigure} \caption{(a) Step Respon dari persamaan~\eqref{eq:Gref} dengan parameter $\zeta = 0.9$ dan $\omega_n = 9.1$ \\ - (b) Pole sistem adalah -8.19+3.96j dan -8.19+3.96j } + (b) Pole sistem adalah -8.19+3.96j dan -8.19+3.96j } \end{center} \end{figure} @@ -162,43 +158,83 @@ Untuk mendesain parameter K pada \textit{state feedback}, diasumsikan bahwa \textit{state} pada sistem dapat diperoleh dari sensor, $x(t)$ untuk semua $t$. Persamaan rumus masukan ke sistem menjadi \begin{align} - u(t) = -K_s x(t) + u(t) = -K_s x(t) \end{align} sehingga persamaan \textit{state space} menjadi berikut. \begin{align} - \dot{x}(t) = (A-BK_s)x(t) + \dot{x}(t) = (A-BK_s)x(t) \end{align} Dapat diperhatikan bahwa $(A-BK_s)$ merupakan matriks karakteristik dari sistem. Sehingga dengan mengatur besaran $K_s$ dapat menjadikan sistem sesuai dengan kriterianya. \begin{align} - \det[\lambda I-(A-BK_s)]=0 + \det[\lambda I-(A-BK_s)]=0 + \label{eq:eigen} \end{align} -Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama -$place()$. -Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang diinginkan. -\todo{ - jabarkan perhitungan tangan mengenai pole placement, satu saja cukup dari ketiga state -} -Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}. +Perhatikan persamaan~\eqref{eq:ssx}, matriks pada persamaan tersebut akan diterapkan pada +persamaan~\eqref{eq:eigen}. +\begin{align*} + 0 & =\det \Big[ + \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - + \Big( + \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ 0 & A_{44} \end{bmatrix} - + \begin{bmatrix}0 & 0& 0 \\ B_{11} & B_{12} & B_{13} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} & k_{22} \\ k_{31} & k_{32} \end{bmatrix} + \Big) + \Big] \\ + 0 & = \det \Big[ + \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - + \Big( + \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ -B_{11}k_{11}-B_{12}k_{21}-B_{13}k_{31} & + A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32}\end{bmatrix} + \Big) + \Big] \\ + 0 & = \det \Big[ + \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - + \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ Z_{21}& Z_{22}\end{bmatrix} + \Big] + = \det \Big[ \begin{bmatrix}\lambda & -A_{14}\\ -Z_{21} & \lambda-Z_{22} \end{bmatrix}\Big] +\end{align*} +Hasil dari diterminan sebagai berikut. \begin{align} - K_s^{x} &= - \begin{bmatrix} - -0.00000& -0.00000 \\ - 71.71556& 8.38602 \\ - -71.71556& -8.38602 - \end{bmatrix}; - K_s^{y}= - \begin{bmatrix} - -82.81000& -9.67000& \\ - 41.40500& 4.83500& \\ - 41.40500& 4.83500& - \end{bmatrix}; \nonumber\\ - K_s^{\theta} &= - \begin{bmatrix} - 6.90083& 1.02817\\ - 6.90083& 1.02817\\ - 6.90083& 1.02817 - \end{bmatrix} + 0 & = \lambda^2 -Z_{22} \lambda + Z_{21}A_{14} +\end{align} +Dimana +\begin{align*} + Z_{21} &= B_{11}k_{11} +B_{12}k_{21} +B_{13}k_{31} \\ + Z_{22} &= A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32} +\end{align*} +Dengan asumsi persamaan orde dua mengunakan parameter $\zeta~=~0.9$ dan $\omega_n~=~9.1$ +(hasil analisa pada gambar~\ref{fig:stepResGref}) sebagai berikut. +\begin{align} + \triangle \lambda &= \lambda^2+2\zeta\omega_n \lambda +\omega_n^2 \\ + &= \lambda^2+16.38 \lambda + 82.81 +\end{align} +Sehingga akan diperoleh besaran $Z_{21}$ dan $Z_{22}$ + + +% Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama +% $place()$. +% Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang diinginkan. +% Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}. +\begin{align} + K_s^{x} & = + \begin{bmatrix} + -0.00000 & -0.00000 \\ + 71.71556 & 8.38602 \\ + -71.71556 & -8.38602 + \end{bmatrix}; + K_s^{y}= + \begin{bmatrix} + -82.81000 & -9.67000 & \\ + 41.40500 & 4.83500 & \\ + 41.40500 & 4.83500 & + \end{bmatrix}; \nonumber \\ + K_s^{\theta} & = + \begin{bmatrix} + 6.90083 & 1.02817 \\ + 6.90083 & 1.02817 \\ + 6.90083 & 1.02817 + \end{bmatrix} \end{align} @@ -208,40 +244,40 @@ Maka permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan \textit{input refrence}. Dimana refrence tersebut akan dikalikan dengan konstanta $N$. Berikut adalah persamaan \textit{input refrence} sebagai penambah dari \textit{state feedback}. \begin{align} - u(t) = -Kx(t)+Nr + u(t) = -Kx(t)+Nr \end{align} Sehingga persamaan \textit{state space} menjadi berikut. \begin{align} - \dot{x} &= (A-BK_s)x + BNr\\ - y &= Cx + \dot{x} & = (A-BK_s)x + BNr \\ + y & = Cx \end{align} Untuk mendapatkan nilai $N$ maka dapat diasumsikan bahwa sistem dalam keadaan \textit{steady state}, yaitu $\dot{x} = 0$, sehingga persamaan state space menjadi berikut. \begin{align} - x &= -(A-BK_s)^{-1}BNr + x & = -(A-BK_s)^{-1}BNr \end{align} Dalam keadaan \textit{steady state}, harapannya adalah nilai refrence sama dengan nilai keluaran, $y=r$. Sehingga dapat diperoleh persamaan $N$. \begin{align} - N &= -[C(A-BK_s)^{-1}B]^{-1} + N & = -[C(A-BK_s)^{-1}B]^{-1} \end{align} Berikut adalah hasil kalkulasi dari rumus $N$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}. \begin{align} - N^x &= \begin{bmatrix} - -0.00000 & -0.00000 \\ - 71.71556 & -0.00000 \\ - -71.71556 & -0.00000 - \end{bmatrix}; - N^y = \begin{bmatrix} - -82.81000 & -0.00000 \\ - 41.40500 & -0.00000 \\ - 41.40500 & -0.00000 - \end{bmatrix} \nonumber \\ - N^\theta &= \begin{bmatrix} - 6.90083& -0.00000 \\ - 6.90083& -0.00000 \\ - 6.90083& -0.00000 - \end{bmatrix} + N^x & = \begin{bmatrix} + -0.00000 & -0.00000 \\ + 71.71556 & -0.00000 \\ + -71.71556 & -0.00000 + \end{bmatrix}; + N^y = \begin{bmatrix} + -82.81000 & -0.00000 \\ + 41.40500 & -0.00000 \\ + 41.40500 & -0.00000 + \end{bmatrix} \nonumber \\ + N^\theta & = \begin{bmatrix} + 6.90083 & -0.00000 \\ + 6.90083 & -0.00000 \\ + 6.90083 & -0.00000 + \end{bmatrix} \end{align} @@ -432,7 +468,7 @@ Hasil plot dari simulasi model dapat dilihat pada gambar~\ref{fig:sim_model}. \label{fig:sim_model} \end{figure} \todo{ - Tambahkan subsection mengenai + Tambahkan subsection mengenai \begin{itemize} \item pengembangan data/akuisisi data ? \item skenario pengujian/simulasi? (lebih ke teknis seperti lapangan environtment dll)