stuck poleplacement

BAB4/bab4.tex

@@ -60,15 +60,11 @@ untuk menguji apakah sistem bersifat controlable atau tidak (Dorf, dkk (2010)).
 
 \begin{align*} P_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\end{align*}
 \begin{align} rank[P_c] = n \end{align}
-
 Apabila hasil dari $rank(P_c ) \neq n$ maka sistem tidak \textit{fully controlable}. Sedangkan untuk
 menguji observabilitas dapat menggunakan rumus berikut.
-
 \begin{align*} P_o = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\end{align*}
 \begin{align} rank[P_o] = n \end{align}
-
 Apabila sistem observable, rank dari matriks Observablity $P_o$ sama dengan besar orde sistem.
-
 Menggunakan parameter robot oleh~\kutip{CORREIA20127} yang diterapkan pada per-
 samaan~\eqref{eq:ss1}-\eqref{eq:ss2}, hasil pengujian controlable $rank[P_c] = 6$, maka dapat disim-
 pulkan sistem robot controlable. Hasil pengujian observable $rank[P o] = 6$, maka
@@ -79,7 +75,7 @@ maka \textit{observer} tidak dibutuhkan dalam desain kendali robot.
 Kriteria didefinisi menggunakan analisis sistem orde dua pada domain waktu.
 Berikut adalah transfer fungsi tertutup dari sistem orde dua (\kutip{Richard2010}).
 \begin{align}
-   Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2} R(s)
+   Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} R(s)
    \label{eq:Gref}
 \end{align}
 Dengan input $R(s) = 1/s$ sebagai unit step, maka didapat persamaan keluaran sistem dalam domain waktu.
@@ -172,14 +168,54 @@ Dapat diperhatikan bahwa $(A-BK_s)$ merupakan matriks karakteristik dari sistem.
 Sehingga dengan mengatur besaran $K_s$ dapat menjadikan sistem sesuai dengan kriterianya.
 \begin{align}
    \det[\lambda I-(A-BK_s)]=0
+   \label{eq:eigen}
 \end{align}
-Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama
-$place()$.
-Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang  diinginkan.
-\todo{
-   jabarkan perhitungan tangan mengenai pole placement, satu saja cukup dari ketiga state
-}
-Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}.
+Perhatikan persamaan~\eqref{eq:ssx}, matriks pada persamaan tersebut akan diterapkan pada
+persamaan~\eqref{eq:eigen}.
+\begin{align*}
+   0 & =\det \Big[
+      \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
+      \Big(
+      \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ 0 & A_{44}  \end{bmatrix} -
+      \begin{bmatrix}0 & 0& 0 \\ B_{11} & B_{12} & B_{13} \end{bmatrix}
+      \begin{bmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} & k_{22} \\ k_{31} & k_{32} \end{bmatrix}
+      \Big)
+      \Big]         \\
+   0 & = \det \Big[
+      \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
+      \Big(
+      \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ -B_{11}k_{11}-B_{12}k_{21}-B_{13}k_{31} &
+         A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32}\end{bmatrix}
+      \Big)
+      \Big]         \\
+   0 & = \det \Big[
+      \begin{bmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -
+      \begin{bmatrix}0 & A_{14} \\ Z_{21}& Z_{22}\end{bmatrix}
+      \Big]
+   = \det \Big[ \begin{bmatrix}\lambda & -A_{14}\\ -Z_{21} & \lambda-Z_{22} \end{bmatrix}\Big]
+\end{align*}
+Hasil dari diterminan sebagai berikut.
+\begin{align}
+   0 & = \lambda^2 -Z_{22} \lambda + Z_{21}A_{14}
+\end{align}
+Dimana 
+\begin{align*} 
+   Z_{21} &= B_{11}k_{11} +B_{12}k_{21} +B_{13}k_{31} \\
+   Z_{22} &= A_{44}- B_{11}k_{12}-B_{12}k_{22}-B_{13}k_{32}
+\end{align*}
+Dengan asumsi persamaan orde dua mengunakan parameter $\zeta~=~0.9$ dan $\omega_n~=~9.1$
+(hasil analisa pada gambar~\ref{fig:stepResGref}) sebagai berikut.
+\begin{align}
+   \triangle \lambda &= \lambda^2+2\zeta\omega_n \lambda +\omega_n^2 \\
+    &= \lambda^2+16.38 \lambda + 82.81
+\end{align}
+Sehingga akan diperoleh besaran $Z_{21}$ dan $Z_{22}$
+
+
+% Untuk mendapatkan konstanta $K_s$, digunakan aplikasi Matlab/Octave dengan fungsi yang bernama
+% $place()$.
+% Fungsi tersebut akan mengatur nilai $K_s$ dengan kriteria pole(perhatikan pada gambar \ref{fig:poleSystem}) yang  diinginkan.
+% Berikut adalah hasil kalkulasi dari fungsi $place()$ menggunakan matriks pada persamaan~\eqref{eq:ssx},\eqref{eq:ssy}, dan \eqref{eq:ssthe}.
 \begin{align}
    K_s^{x}      & =
    \begin{bmatrix}